vendredi 23 septembre 2011

Je t'encercle tu m'encercles


Un article absolument pas prévu, est-ce possible ? Faut croire que oui ! parce que cet article est totalement inattendu pour moi. il est la conséquence d'un court échange sur twitter :


@Control_Alt 
Comment ça se fait que je t'encercle et tu m'encercles en même temps ?! :S
@monsieurab
@Control_Alt C'est tout à fait possible sur une sphère avec deux cercles qui ne se touchent pas ^^

@Control_Alt
@monsieurAB @Tshik le mieux serais d’écrire un article qui explique tout cela :D

@Zakariabzd 
@Control_Alt @monsieurAB +1 pour ce que suggère Karim
Qu'est-ce qu'on s'amuse sur twitter, vous devriez vite vous y mettre si vous n'y êtes pas déjà !
Cette question est très intéressante parce qu'elle renvoie en mathématiques à la notion d'intérieur et d'extérieur. Ce qu'on encercle est par définition à l'intérieur d'un cercle qu'on dessine autour. La première chose qui m'est passé par la tête c'est cette blague célèbre (en tout cas chez beaucoup de scientifiques que je connais) :

"Lors d'un grand jeu télévisé, les trois concurrents se trouvent être un ingénieur, un physicien et un mathématicien. Ils ont une épreuve à réaliser. Cette épreuve consiste à construire une clôture tout autour d'un troupeau de moutons en utilisant aussi peu de matériel que possible.
  • L'ingénieur fait regrouper le troupeau dans un cercle, puis décide de construire une barrière tout autour.
  • Le physicien construit une clôture d'un diamètre infini et tente de relier les bouts de la clôture entre eux jusqu'au moment où tout le troupeau peut tenir dans le cercle.
  • Voyant ça, le mathématicien construit une clôture autour de lui-même et se définit comme étant à l'extérieur."
J'en ai plein d'autres comme ça, mais ce n'est pas le but de cet article ! Quand on y réflechit, ce n'est pas si évident d'orienter des objets dans l'espace. Imaginons un instant que le corps humain eût été complètement symétrique, avec le coeur bien au milieu. C'est la joie pour définir et différencier la droite de la gauche ! Mathématiquement parlant, l'étude de ces notions a donné naissance à d'étranges objets. Vous les avez peut-être déjà vu passer :



À ma gauche, la bouteille de Klein, et à ma droite, le ruban de Möbius. Ils ont comme propriétés de na pas être orientable. Il n'y a pas de différence entre l'intérieur et l'extérieur ! Mais dans le cas d'un cercle, on pourrait penser que c'est évident non ? L'intuition voudrait qu'on encercle un domaine fini, donc l'extérieur c'est ce qui est infini.


D'accord, ça peut marcher, mais si on jouait à mettre ce cercle sur une sphère. Pour fabriquer une sphère à partir d'un plan, c'est très facile, il suffit d'associer l'infini à un point (c'est ce genre de trucs qui font que j'aime les maths.)



Et donc, pour en revenir à notre question, vous pouvez maintenant facilement dessiner la solution non ?

Il s'avère après coup que le tweet parlait de google+, mais c'est pas grave, ça m'aura donné l'occasion d'écrire cet article ;)

Bien sûr certains ne manqueront pas de remarquer que toute cette discussion n'est valable qu'à deux dimensions. Et pour cela en bonus, je mets une vidéo qui montre comment on peut retourner une sphère sans la couper, moyennant quelques hypthèses :


PS: en double bonus, parce que je suis un gars trop gentil, je vous propose de voir comment on peut projeter une sphère sur un plan grâce à un point (dont le projeté lui est à l'infini pour ceux qui ont suivi ^^ )


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