samedi 27 novembre 2010

Comment reconnaître une particule ?

Quelle drôle de question, mais pas si bête que ça !

Ici je veux bien entendu parler de particules élémentaires, les briques de la matière, qui composent les atomes, qui eux même composent les molécules qui forment les objets de notre quotidien.

Comment reconnaître un objet


Dans la vie de tous les jours, on reconnait un objet en le regardant directement. Et même si on ne peut voir les objets que d'un seul côté à la fois, notre merveilleux cerveau fait la reconstruction tout seul pour nous dire ce qui manque... et parfois il peut se tromper, ce qui donne lieu à des illusions optiques très intéressantes.

Limite optique


Maintenant comment reconnaître ce qu'on ne peut pas voir directement ? Parce que mine de rien, une particule comme un électron, c'est vraiment très petit, et notre œil a ses limites. De façon général, chaque objet de mesure a une sensibilité en-dessous de laquelle il ne peut descendre. Pour les instruments optiques (et notre œil en est un), c'est ce qu'on appelle le pouvoir de résolution. Il me dit jusqu'à quel point je peux distinguer deux ou plusieurs objets l'un de l'autre. Le pouvoir de résolution de l'œil est au maximum de quelques fractions de millimètre. Or une particule comme un proton a un taille de l'ordre du femtomètre ($10^{-15}$ mètre), ce qui est vraiment très petit. Pour atteindre une taille pareille, il faut prendre un mètre, le couper en 1000 morceaux de tailles égales, prendre un morceau, et le couper encore en 1000 morceaux de tailles égales, et faire cette opération 5 fois.

Comment définir un objet


Sans regarder un objet, peut-on malgré tout le définir ?

Si je pose la question, c'est que la réponse est oui. Définir un objet en le regardant, c'est reconnaître certaines de ces propriétés, comme sa géométrie et sa couleur par exemple. Ce sont des propriétés intrinsèques de l'objet. Par exemple si je définis une sphère comme l'ensemble des points qui sont à la même distance d'un certain point, je peux déplacer cette sphère de quelques centimètres ou de plusieurs kilomètre, je peux la faire tourner de un degré ou de plusieurs degrés, les points seront toujours à la même distance du centre de la sphère. Et je suis sûr d'avoir bien affaire à une sphère. L'argument marche aussi pour la couleur !

Toute transformation qui laisse invariant un objet est une transformation de symétrie.


Pour définir un objet, il suffit de définir les bonnes transformations de symétrie, et de chercher les quantités qui restent invariantes sous ces transformations.


Symétries et invariants


Il y a deux types de symétries en physique théorique.
  • Les symétries d'espace-temps : par exemple déplacer un objet dans l'espace, comme énoncé plus haut. Mais on peut aussi déplacer un objet dans le temps (d'ailleurs c'est ce qu'on est tous en train de faire, on se déplace vers notre futur présent à chaque instant). La quantité conservée par invariance de translation dans le temps est l'énergie. Pour l'espace, il s'agit de la quantité de mouvement. Il faut également rajouter l'invariance par rotation, qui conserve le moment cinétique (et sa version quantique qui conserve le spin de la particule).
  • Les symétries internes. Internes parce qu'elle ne font pas intervenir les coordonnées de l'espace-temps. C'est en forçant notamment ce genre de symétries qu'on fait apparaître les interactions entre particules. On retrouve dans les quantités conservées entre autre la charge électrique.


Je reste bref, mais je compte approfondir ces notions ici même sur ce blog, dès que j'aurai trouvé la meilleure façon d'exposer tout ça à un public qui ne connaît pas le sujet.

Cette relation intime entre symétries et quantités conservées, qui est fondamentale en physique, nous la devons à Emmy Noether, une femme mathématicienne du début du siècle dernier. le théorème de Noether s'avère en effet indispensable et incontournable de nos jours. En cherchant une bonne référence sur internet (j'ai été déçu par la page Wikipédia un peu vide), je suis tombé sur ce lien, qui détaille un peu ce théorème.


Caractéristiques d'une particule


Mathématiquement, jouer avec une particule revient à manipuler sa fonction d'onde notée $\phi$. Non ne fuyez pas ! une fonction d'onde, c'est comme une valise, on y met les propriétés importantes de la particule, et on trouve une façon d'agir pour récupérer les bonnes informations.

Par exemple si je veux connaître l'énergie d'une particule, j'essaie de construire un opérateur énergie Ê que j'applique à la fonction, et le résultat est un nombre E, la valeur de l'énergie.
$\hat E \ \phi(E)= E \ \phi(E)$
C'est ce qu'on appelle une équation aux valeurs propres. À chaque information encodée dans la fonction d'onde, correspond un opérateur. Et ces opérateurs sont utiles pour manipuler la particule mathématiquement. Par exemple si je veux déplacer une particule qui se trouve en x de 10 cm, je lui applique l'opérateur de translation de 10 cm
$P_{10 \, cm} \ \phi(x)=\phi(x+10 \, cm)$

Pourquoi je parle de tout ça, d'abord parce que je souhaite faire comprendre au plus grand nombre que les mathématiques n'ont rien d'étrange, mais que c'est simplement une langue étrangère, avec son alphabet et sa grammaire, et qui permet d'exprimer certaines idées de façon beaucoup plus efficaces que la langue usuelle.

J'en parle ensuite pour introduire les opérateurs de Casimir. Ce sont les objets mathématiques qui permettent de définir les invariants qui vont me permettre de suive ma particule. 

L'ensemble des opérateurs qui agissent sur ma particule en la laissant inchangée (comme la translation), forment un groupe de symétrie. Former un groupe, ça veut dire que je peux appliquer n'importe quelle transformation, suivie de n'importe quelle autre, à la fin, je garde toujours la même particule (même si elle est dans des endroits différents). Si je déplace ma particule de 10 cm, où si je la regarde 10 secondes plus tard, ou alors si j'attends 10 secondes, puis je la déplaces de 10 cm, ma particule aura toujours la même masse par exemple. Et l'opérateur de Casimir associé à la translation dans l'espace-temps est :
$$P^2 \phi = m^2 \phi$$
où P est l'opérateur de translation dans l'espace-temps, et m la masse. Juste pour le fun, sachez que la célèbre relation d'Einstein 
$$E=mc^2$$
est cachée dans la formule précédente.

Une particule ...

... c'est donc un ensemble de nombres qui la caractérise :

  • Une masse
  • Un spin
  • Une charge électromagnétique
  • Une charge dite d'isospin, pour les interactions nucléaires faibles
  • Une charge dite de couleur, pour les interactions nucléaires fortes
Connaître tous ces nombres, c'est pouvoir prédire comment les particules vont se comporter dans certaines situation expérimentale, pour pouvoir essayer de les détecter par la suite...


Cet exposé est loin d'être complet, mais d'autres je l'espère viendront par la suite combler les petits trous.

Fin de cet épisode...

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